9月に入り、夏休みも残り2週間余りとなりました。
学生の皆さんは充実した夏休みを過ごしていると思います。
私は、補充授業も終わり出席者は全員、無事に単位を発行できる事となり
ほっとしているところです。
さて、期末テストの返却の時にも少し話をしましたが、
「ベクトルの扱いが少々雑になっている答案」が多かったです。
ベクトルの大きさ、成分、ベクトル自身を表す際に正しく表記できるように
しておきましょう。
変な表記が多かったのはベクトルの大きさでした。
ベクトルの大きさは
丁寧に書くなら
$$
|\vec{F}|
$$
と表します。
或いは、単に矢印を取って
$$
F
$$
と表す場合もあります。
ベクトルはこの先のさまざまな分野でも必ず必要になってくるので
しっかりと復習をして正しく理解することが重要です。
ベクトルの表記に関連して、「力のモーメント」の問題で
少し誤解をして覚えてしまった人が居るようなので説明を追加しておきます。
期末テストの問題10
棒の両端に質点が取り付けられていて、棒が回転しない条件を求める問題でした。
このモデルを考える場合も、これまでの様に作図をし、作用する力を書き込みます。
この後、回転の運動方程式を立てることになります。
回転の運動方程式は
\begin{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm {d} t}=\vec{N}
\end{eqnarray*}
で表されます。
角運動量$\vec{L} $も力のモーメント$\vec{N} $もベクトルです。
よって、これを成分で表すと
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\mathrm{d} L_x}{\mathrm{d} t}\\
\frac{\mathrm{d} L_y}{\mathrm{d} t} \\
\frac{\mathrm{d} L_z}{\mathrm{d} t}
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
N_x\\
N_y\\
N_z
\end{array}
\right)
\end{align*}
となります。
今回の答案では
\begin{eqnarray*}
N_z=xmg - (L-x)Mg
\end{eqnarray*}
なので
\begin{eqnarray*}
0=xmg - (L-x)Mg
\end{eqnarray*}
といきなり記述をした人が多かったです。
しかし、この記述だけでは間を省略し過ぎです。
今回、答案を採点する時は減点をしませんでしたが
本来はもう少し丁寧に答案を作るべきです。
なので、本来の解答を示しておきます。
まず、軸を設定します。
糸と棒の交点を原点とし、右向きを$x$軸、上向きを$y$軸とします。
左側の物体について位置ベクトルを$\vec{r_1} $、力のベクトルを$\vec{N_1} $とすると
\begin{align*}
\vec{r_1}
=\left(
\begin{array}{ccc}
-x\\
0\\
0
\end{array}
\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\vec{F_1}
=\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
-mg\\
0
\end{array}
\right)
\end{align*}
と表すことができます。
よって力のモーメント$\vec{N_1}$は
\begin{align*}
\vec{N_1}
＝\vec{r_1} \times \vec{F_1}
=\left(
\begin{array}{ccc}
-x\\
0\\
0
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
-mg\\
0
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0\cdot 0 - 0 \cdot (-mg)\\
0\cdot 0 - (-x) \cdot 0 \\
-x \cdot (-mg) - 0 \cdot 0
\end{array}
\right)\\
\\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
xmg
\end{array}
\right)
\end{align*}
となります。
同様に、右側の物体について$\vec{r_2},\vec{F_2}$とすると
\begin{align*}
\vec{r_2}
=\left(
\begin{array}{ccc}
L-x\\
0\\
0
\end{array}
\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\vec{F_2}
=\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
-Mg\\
0
\end{array}
\right)
\end{align*}
と表すことができ、力のモーメント$\vec{N_2}$は
\begin{align*}
\vec{N_2}
＝\vec{r_2} \times \vec{F_2}
=\left(
\begin{array}{ccc}
L-x\\
0\\
0
\end{array}
\right)
\times
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
-Mg\\
0
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0\cdot 0 - 0 \cdot (-Mg)\\
0\cdot 0 - (L-x) \cdot 0 \\
(L-x) \cdot (-Mg) - 0 \cdot 0
\end{array}
\right)\\
\\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
-(L-x)Mg
\end{array}
\right)
\end{align*}
となります。
よって、回転の運動方程式は
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm {d} t}&=\vec{N}\\
&=\vec{N_1}+\vec{N_2}\\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
xmg
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
-(L-x)Mg
\end{array}
\right)\\
\\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
xmg-(L-x)Mg
\end{array}
\right)
\end{align*}
となります。
従って、
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\mathrm{d} L_x}{\mathrm{d} t}\\
\frac{\mathrm{d} L_y}{\mathrm{d} t} \\
\frac{\mathrm{d} L_z}{\mathrm{d} t}
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
xmg-(L-x)Mg
\end{array}
\right)
\end{align*}
となります。
さらに棒が回転しない条件は$\frac{\mathrm{d} \vec{L}}{\mathrm{d} t}=\vec{0}$、
即ち
\begin{align*}
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\mathrm{d} L_x}{\mathrm{d} t}\\
\frac{\mathrm{d} L_y}{\mathrm{d} t} \\
\frac{\mathrm{d} L_z}{\mathrm{d} t}
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
0
\end{array}
\right)
\end{align*}
が必要になります。
従って、
\begin{eqnarray*}
\frac{\mathrm{d} L_z}{\mathrm{d} t} =xmg - (L-x)Mg =0
\end{eqnarray*}
となり、$x$の条件を求めることになる訳です。
この最後の式だけを答案に記述すると、
それまでの計算部分をきちんと理解しているかどうか
判断がし難いので計算過程を省略せずに書いた方が良いです。
期末テスト全体的な評価としては、できる人は満点に近く、
それなりな理解な人はそれなりな得点であったと思います。
物理は理解できている人にとっては当然の事として
処理をすることができる分野なので、この結果は当然な事と言えます。
Q&Aの残り
・先生は旅行に行きますか？
本来はゆっくり温泉にでも行きたいところですが、無理そうです。
年内には行きたいかな。
・テストになると緊張して何もできなくなるのを改善したい
テストに限らず、何らかの本番においては日々の練習の積み重ねが
自分の自信につながります。
その他
以前のアンケートの回答でも話しましたが、
大学のカリキュラムにおいて、それぞれの分野と数学とのLinkが
うまくいっていない問題があります。
物理や化学で必要な数学的知識がその部分を学習する段階で
整っていないという現状です。
数学は数学で純粋に学ぶことも大事なのだけれども、
実用的、実践的な数学の活用も大事です。
このバランスは難しいので何とも言い難い部分はあります。
よって、自分で主体的に学ぶ姿勢と努力が必要になってきます。
専門科目にとって数学は道具です。
道具は正しく、うまく使えるように準備や鍛錬をしておきましょう。