講義内では計算過程を省略したので、ここに掲載します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(z^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dz = \frac{2}{a^2}
\end{eqnarray}
この積分は$\ z=a \tan x$と置換をして計算します。
下準備
\begin{eqnarray}
z &=& a \tan x \\
dz &=& a \frac{1}{\cos^2 x} dx \\
\end{eqnarray}
また、三角関数の関係式$\ \tan^2 x +1 = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$も利用します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(z^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dz
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 x} dx}
{[(a \tan x)^2 +a^2]^{\frac{3}{2}}}\\
& & \\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 x} dx}
{[a^2 (\tan^2 x+1) ]^{\frac{3}{2}}}\\
& & \\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 x} dx}
{\left(a^2 \displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} \right)^{\frac{3}{2}}}\\
& & \\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 x} dx}
{\displaystyle \frac{a^3}{\cos^3 x}}\\
\\
&=& \frac{1}{a^2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\ dx \\
\\
&=& \frac{1}{a^2} \left[ \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\
\\
&=& \frac{1}{a^2} \left[ \sin \frac{\pi}{2} -\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right]\\
\\
&=&\frac{2}{a^2}
\end{eqnarray}