運動方程式から仕事とエネルギーの関係式を導く式変形のにおいて
講義内では
\begin{eqnarray}
m\frac{\diff v}{\diff t} &=& F \\
\int m\frac{\diff v}{\diff t} \diff x &=& \int F \diff x \\
\int m\frac{\diff v}{\diff t} v\ \diff t &=& \int F \diff x \\
\int \frac{\diff}{\diff t}\left( \frac{1}{2} mv^2 \right) \ \diff t &=& \int F \diff x \\
\end{eqnarray}
さらに、速度について$v(t_1)=v_1,\ v(t_2)=v_2$とし、変位について$ x(t_1)=x_1,\ x(t_2)=x_2$として積分すると
\begin{eqnarray}
\left[ \frac{1}{2} mv^2 \right]^{v_2}_{v_1} &=& \int^{x_2}_{x_1} F \diff x \\
\frac{1}{2} mv_2^2 - \frac{1}{2} mv_1^2 &=& \int^{x_2}_{x_1} F \diff x \\
\end{eqnarray}
と紹介しました。
別の式変形として
\begin{eqnarray}
m\frac{\diff v}{\diff t} &=& F \\
\int m\frac{\diff v}{\diff t} \diff x &=& \int F \diff x \\
\int m\frac{\diff v}{\diff t} v\ \diff t &=& \int F \diff x \\
\int m v \diff v &=& \int F \diff x \\
\end{eqnarray}
として、左辺を$v$で積分するという方法もあります。
積分区間を$v(t_1)=v_1,\ v(t_2)=v_2,\ x(t_1)=x_1,\ x(t_2)=x_2$とすると
\begin{eqnarray}
\left[ \frac{1}{2} mv^2 \right]^{v_2}_{v_1} &=& \int^{x_2}_{x_1} F \diff x \\
\end{eqnarray}
となり、同様の計算をすることになります。
質問の画像に書かれていた
\begin{eqnarray}
m\frac{\diff v}{\diff t} &=& F \\
\int m\frac{\diff v}{\diff t} \diff x &=& \int F \diff x \\
\int m\frac{\diff x}{\diff t} \diff v &=& \int F \diff x \\
\int m v \diff v &=& \int F \diff x \\
\end{eqnarray}
と変形するのは間違いではないが、$\diff x$を$v \diff t$と置き換える方が自然な流れだと思います。