180105-10
電流が作る磁場を計算する板書に関して
電流素片が作る磁場と考え、ビオーサバールの法則を用いて計算をしました。
この計算途中において、
\begin{align*}
x=-\frac{r}{\tan \theta}
\end{align*}
より、
\begin{align*}
dx=\frac{rd\theta}{\sin^2 \theta}
\end{align*}
として、計算を進めて行きました。
この計算について質問があったので、この途中計算について掲載します。
$\vec{B}$を求める過程の積分計算において、変数を$x$のまま扱うのは大変なので、変数を$\theta$に変換しました。そのため、$dx \to d \theta$を求める必要があります。
合成関数の微分、$\frac{dx}{d \theta}=\frac{dx}{d u}\frac{du}{d \theta}$の計算を行いました。
$u=\tan \theta$とすると、$x=-\frac{r}{u}$であるから
\begin{align*}
\frac{dx}{d \theta} &=\frac{dx}{d u}\frac{du}{d \theta} \\
&= \frac{d}{d u} \Bigl[-\frac{r}{u} \bigr]\cdot
\frac{d}{d \theta} \Bigl[\tan \theta \bigr] \\
&= -\Bigl[-\frac{r}{u^2} \bigr]\cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}\\
&= \frac{r}{\tan ^2 \theta}\frac{1}{\cos^2 \theta}\\
&= \frac{r}{\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}}\frac{1}{\cos^2 \theta}\\
&= \frac{r}{\sin ^2 \theta}\\
\end{align*}
従って、
\begin{align*}
dx=\frac{r}{\sin^2 \theta} d\theta
\end{align*}
と計算できます。
復習に活用して下さい。