講義中では混乱をさらに加速することになりかねないので
深入りしませんでした。
ここで補足説明をしておきます。
運動方程式
\begin{eqnarray*}
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = F
\end{eqnarray*}
を$x$で積分してみましょう。
すると、
\begin{eqnarray*}
\int m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} dx= \int F dx
\end{eqnarray*}
となります。
この式の左辺は$\mathrm{d} t$と$dx$が混在しているので整理をします。
つまり、$dx$を別の形で表します。
我々が知っている$dx$に関する式は
\begin{eqnarray*}
v = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}
\end{eqnarray*}
ですね。
よって、この式を変形して
\begin{eqnarray*}
\mathrm{d} x = v \mathrm{d} t
\end{eqnarray*}
となります。
この式を運動方程式を$x$で積分した式に代入すると
\begin{eqnarray*}
\int m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} v dt= \int F dx
\end{eqnarray*}
となります。
よって、
\begin{eqnarray*}
\int \Bigl( m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} v \Bigr) dt & = \int F dx \\
\\
\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Bigl( \frac{1}{2}mv^2 \Bigr) dt & = \int F dx
\end{eqnarray*}
となり、講義で扱った$v$をかけた形になります。
つまり、「運動方程式に$v= \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} $をかけて$t$で積分した」ということは
「$x$で積分した」と同じ意味になります。
運動方程式を$x$で積分すると仕事とエネルギーの関係が導かれます。
これを運動方程式の距離積分といいます。